Question

已知函數f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性和單調性；
（2）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷奇偶性，先求定義域，看是否關于原點中心對稱，若不是，則為非奇非偶函數；若是，再判斷f（-x）與f（x）的關系，得出結論，按照定義去判斷，取值，作差，變形，判斷符號，得出結論．
（2）先移項，得f（1-t）＜-f（1-t²），根據奇函數，f（1-t）＜f（t²-1），再根據單調性，求出t的取值范圍，注意函數的定義域優先原則．

解答：解：（1）因為函數f（x）的定義域為R，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x）
所以f（x）是奇函數
當a＞1，函數f（x）為R上的增函數．
證明：在R上任取x₁＜x_2，
則 f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因為x₁＜x₂，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0，

a

a2-1

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數f（x）為R上的增函數
同理，當0＜a＜1時，函數f（x）為R上的增函數
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函數f（x）是奇函數，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函數f（x）為R上的增函數，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．

-1＜1-t＜1 -1＜1-t2＜1 t2+t-2＞0

∴1＜t＜

2

點評：本題考查了函數的奇偶性的判斷，函數單調性的證明，抽象函數性質應用，關鍵是正確應用函數的基本性質解題．