Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），給出如下四個命題：①若c=0，則f（x）為奇函數；②若b=0，則函數f（x）在R上是增函數；③函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）成中心對稱圖形；④關于x的方程f（x）=0最多有兩個實根．其中正確的命題    ．

Answer 1

【答案】分析：根據奇函數的定義，可以判斷①的真假；根據函數單調性的定義及判斷方法，可以得到②的真假；根據①的結論，結合函數圖象的平移變換法則，可以判斷③的真假；根據③的結論，結合二次函數的圖象和性質，可以判斷④的真假，進而得到答案．
解答：解：若c=0，則f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），即f（x）為奇函數，故①正確；
若b=0，則函數f（x）=x|x|+c，在R上為增函數，故②正確；
由①可得，f（x）-c的圖象關于原點對稱，則函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）成中心對稱圖形，故③正確；
根據③結論和二次函數的圖象和性質，可得關于x的方程f（x）=0最多有三個實根，故④錯誤；
故答案為：①②③
點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數的單調性，函數的奇偶性，熟練掌握二次函數的性質，能利用草圖分析題目中命題的真假是解答本題的關鍵．