Question

如果函數f(x)=-

2a

b

ln(x+1)的圖象在x=1處的切線l過點（0，-

1

b

），并且l與圓C：x²+y²=1相離，則點（a，b）與圓C的位置關系是（　　）

A．在圓內

B．在圓外

C．在圓上

D．不能確定

Answer 1

分析：利用求導法則求出函數f（x）的導函數，根據題意將x=1代入導函數中，求出切線l的斜率，由斜率及切線l過（0，-

1

b

），表示出切線l的方程，根據切線l與圓相離，可得出圓心到切線l的距離d大于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，變形后得到a²+b²小于1，即（a，b）到圓心（0，0）的距離小于半徑r，可判斷出此點在圓內．

解答：解：求導得：f′（x）=-

2a

b

•

1

x+1

，
由題意得：f（x）函數圖象在x=1處的切線l過點（0，-

1

b

），
∴切線l的斜率為f′（1）=-

a

b

，
∴切線l方程為y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0，
∵直線l與圓C：x²+y²=1相離，且圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
∴圓心到直線l的距離d=

1

a2+b2

＞1=r，即a²+b²＜1，
∴點（a，b）與圓C的位置關系是：點在圓內．
故選A

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：利用導數研究曲線上某點的切線方程，點到直線的距離公式，點與圓的位置關系，以及兩點間的距離公式，其中直線與圓的位置關系可以由d與r的大小來判斷（d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑），當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交．