Question

已知橢圓＋＝1(其中a＞b＞0)與直線x＋y＝1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．

(1)求＋的值；

(2)若橢圓的離心率e滿足≤e≤，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0， 　　∵y1＝1－x1，y2＝1－x2， 　　代入x1x2＋y1y2＝0，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，① 　　又將y＝1－x代入＋＝1，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，代入①式并化簡，得＋＝2． 　　(2)由e2＝＝1及已知得≤1≤，≤≤， 　　又由(1)知b2＝， 　　所以≤≤，≤a2≤，≤a≤，其長軸2a∈[，]． 　　解析：本題涉及直線與橢圓的交點，對于此類問題往往聯立它們的方程消去其中的一個未知數，再利用根與系數間的關系，得到相應的兩個交點的坐標間的關系，再結合題目中的其他條件將問題解決．