Question

設橢圓C：，F是右焦點，l是過點F的一條直線（不與y軸平行），交橢圓于A、B兩點，l′是AB的中垂線，交橢圓的長軸于一點D，則的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x，y），直線l的斜率為k，則l′的斜率為，由k=及中點坐標公式，利用點差可得k=-，由及可求m=由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|==代入可求
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x，y），直線l的斜率為k，則l′的斜率為
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，k=
由題意可得，兩式相減可得
整理可得，k=-
又∵
∴
∴m=，|DF|=|4-|
∵，右準線x=，過A，B分別向右準線作垂線，垂足分別為E，G
由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=|=
=
===
故答案為
點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，橢圓的第二定義的應用點差法的應用是解答本題的關鍵