Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界、若函數f（x）=1+a•^x+^x在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A．[-5，0]
B．[-4，1]
C．[-4，0]
D．[-5，1]

Answer 1

【答案】分析：遇到求參數的取值范圍問題，我們往往采用參數分離法進行求解，恒成立問題轉化成研究最值問題，即[h（x）]_max≤a≤[p（x）]_min
解答：解：由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即
-3≤f（x）≤3，
∴-4-^x≤a^x≤2-^x，
∴-4•2^x-^x≤a≤2•2^x-^x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2^x-^x]_max≤a≤[2•2^x-^x]_min，
設2^x=t，則h（t）=-4t-，p（t）=2t-，由x∈[0，+∞），得t≥1，
易知：h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
所以h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴實數a的取值范圍為[-5，1]．
故選D
點評：本題考查了恒成立問題，函數最值問題，換元轉化成二次函數的思想．