Question

已知.

（1）若函數在區間上有極值，求實數的取值范圍；

（2）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍；

（3）當，時，求證：.

Answer 1

解：（1），   

當時，；當時，；

函數在區間（0，1）上為增函數；在區間為減函數     -------------------------3分

當時，函數取得極大值，而函數在區間有極值.

，解得.                                 ---------------------------5分

（2）由（1）得的極大值為，令，所以當時，函數取得最小值，又因為方程有實數解，那么，即，所以實數的取值范圍是：.                                   ----------10分

（另解：，，

令，所以，當時，

當時，；當時，

當時，函數取得極大值為

當方程有實數解時，.）

（3）函數在區間為減函數，而，

，即                     

------------------12分

即，而，

結論成立.                    ----------------------16分