Question

【題目】函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求單調(diào)遞減區(qū)間和極值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（Ⅱ）若對任意，恒成立.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無極大值.（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）先利用導數(shù)的幾何意義求出k的值，然后利用導數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值；
（Ⅱ）由題意可知，函數(shù)f（x）-x在（0，+∞）上遞增，即該函數(shù)的導數(shù)大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的最值問題來解．

詳解：

（Ⅰ）由，知，.

因為曲線在點處的切線與直線垂直，

所以，即，得.

所以.

當時，，在單調(diào)遞減；

當時，，在單調(diào)遞增.

所以當時，有極小值，且極小值為.

綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無極大值.

（Ⅱ）因為對任意，恒成立

所以對任意恒成立，

令，

則在單調(diào)遞減，

所以在恒成立，

所以恒成立.

令，則.

所以的取值范圍是.