Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l：x=ky+m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4，橢圓的離心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）由直線與橢圓方程聯立，消元，由以AB為直徑的圓過橢圓右頂點C（3，0），可得 ，結合數量積公式及韋達定理，即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，可得 ，即，…（1分）
又橢圓的離心率為，即，…（2分）
所以a=3，，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有，．①…（6分）
因為以AB為直徑的圓過橢圓右頂點C（3，0），所以 ．…（7分）
由 ，，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 ，…（10分）
將 ①代入上式得
解得 ，或m=3．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．