Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6＋4．

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）設直線l：x＝ky＋m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求m的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ），或

【解析】【解析】(1)由題意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c進而確定橢圓方程.

（2）以AB為直徑的圓過右頂點C，實質是,然后用坐標表示出來，再通過直線l的方程與橢圓方程聯立，借助韋達定理建立關于m的方程解出m的值

（Ⅰ）由題意，可得 ， 即,……………1分

又橢圓的離心率為，即,……………………2分

所以，，， ,……………………3分

所以，橢圓的方程為. ………4分

（Ⅱ）由 消去得. ……5分

設，，有，. ① ……6分

因為以為直徑的圓過橢圓右頂點，所以 . …7分

由 ，,得 .……8分

將代入上式，

得 , …10分

將 ① 代入上式，解得 ，或