Question

已知α、β∈(0,),且3sinβ＝sin(2α+β),4tan＝1-tan²,求α+β的值.

Answer 1

解:∵3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],

3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,

sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,

∵α、β∈(0,),∴0＜α+β＜.

∴cos(α+β)≠0,cosα≠0.∴tan(α+β)=2tanα.

由4tan=1-tan²,得=1,

即得2tanα=1,代入tan(α+β)=2tanα,得tan(α+β)=1.

又0＜α+β＜,∴α+β=.

點評：本題通過變形轉化為已知三角函數值求角的問題，關鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質，必要時，根據三角函數值，縮小角的范圍，從而求出準確角.