Question

已知a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，求證：

1+a

＞

1

1-b

．

Answer 1

分析：證法一：利用分析法直接按照分析法的證題步驟證明即可．
證法二：直接利用綜合法，通過已知條件證明推證結果即可．

解答：證明：證法一：由已知

1

b

-

1

a

＞1及a＞0，可知b＞0，
要證

1+a

＞

1

1-b

，
可證

1+a

•

1-b

＞1，
即證1+a-b-ab＞1，這只需證a-b-ab＞0，即

a-b

ab

＞1，即

1

b

-

1

a

＞1，
而這正是已知條件，以上各步均可逆推，所以原不等式得證．
證法二：

1

b

-

1

a

＞1及a＞0，可知1＞b＞0，
∵

1

b

-

1

a

＞1，
∴a-b-ab＞0，1+a-b-ab＞1，（1+a）（1-b）＞1．
由a＞0，1-b＞0，得

1+a

•

1-b

＞1，
即

1+a

＞

1

1-b

．

點評：本題考查不等式的證明，分析法與綜合法的應用，注意基本不等式的應用．