Question

某科技公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是20000元，每生產(chǎn)一臺產(chǎn)品需要增加投入100元．已知年總收益R（元）與年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式是 R（x）=

500x- 1 2 x2(0≤x≤500) 125000(x＞500)

（1）把該科技公司的年利潤y（元）表示為年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，該科技公司所獲得的年利潤最大？最大年利潤為多少元？（注：利潤=總收益-總成本）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于年產(chǎn)量是x臺，則總成本為（20000+100x）元，從而分段寫出函數(shù)解析式即可；
（2）當(dāng)0≤x≤500時，利用配方法y=-

1

2

（x-400）²+60000求最值，當(dāng)x＞500時，利用單調(diào)性可得y=105000-100x＜105000-100×500=55000．從而解得．

解答： 解：（1）由于年產(chǎn)量是x臺，則總成本為（20000+100x）元．
當(dāng)0≤x≤500時，y=500x-

1

2

x²-（20000+100x），
即y=-

1

2

x²+400x-20000；
當(dāng)x＞500時，y=125000-（20000+100x），
即y=105000-100x．
所以y=

- 1 2 x2+400x-20000，0≤x≤500 105000-100x，x＞500.

；
（2）當(dāng)0≤x≤500時，
y=-

1

2

（x-400）²+60000，
所以當(dāng)x=400時，y_max=60000；
當(dāng)x＞500時，y=105000-100x是減函數(shù)，
即 y=105000-100x＜105000-100×500=55000．
綜上，當(dāng)x=400時，y_max=60000．
即當(dāng)年產(chǎn)量為400臺時，該科技公司所獲得的年利潤最大，
最大年利潤為60000元．

點評：本題考查了分段函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．