Question

在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD－A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．

(1)求棱A₁A的長；

(2)若在線段BC₁上存在點P，使直線A₁P⊥C₁D，求二面角D－A₁P－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設A1A＝h，則 　　解得：h＝4，即A1A的長為4　　4分 　　(2)方法一：過點D1作C1D的垂線交C1C于點Q，過點Q作PQ∥BC交BC1于點P 　　∵C1D⊥D1Q，C1D⊥A1D1，∴C1D⊥A1Qp∵C1D⊥PQ，∴C1D⊥平面A1PQ 　　∵A1P在平面A1PQ內，∴C1D⊥A1P　　6分 　　∴線段BC1上存在點P，使直線A1P⊥C1D　在矩形CDD1C1，∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD 　　∴，得：C1Q＝1　∵△C1PQ∽△C1BC，∴，得在△A1PC1中，∵∵在等腰△BA1C1中，　　8分 　　二面角D－A1P－B的大小為　　12分 　　方法二：以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A1(2，0，4)，B(2，2，0)，C1(0，2，4)　　6分 　　若在線段BC1上存在點P(x，2，z)(0≤x≤2，0≤z≤4)使直線A1P⊥C1D 　　 　　∵P、B、C1共線，∴　 　　由A1P⊥C1D得：(x－2，2，－2x)·(0，2，4)＝0，解得：　　8分 　　此時點P的坐標為(，2，3)， 　　平面DA1P的法向量為(2，1，－1)，平面BA1P的法向量為(2，－2，－1)　　10分 　　∴二面角D－A1P－B的大小為　　12分