Question

現有數列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

a2012

=（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  4024

  2013

• C．

  2011

  2012

• D．

  4022

  2012

Answer 1

分析：由a₁=1，且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，令m=1可得：a_n+1=a_n+a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，利用“累加求和”即可得到a_n，再利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：由a₁=1，且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，
令m=1可得：a_n+1=a_n+a₁+n，∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴an=

n(n+1)

2

．
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

a2012

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2012

-

1

2013

)]
=2(1-

1

2013

)=

4024

2013

．
故選B．

點評：正確理解題意和“累加求和”、“裂項求和”等是解題的關鍵．