Question

已知函數f（x）是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f[f（

5

2

）]的值是（　　）

• A．0
• B．

  1

  2

• C．1
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：從xf（x+1）=（1+x）f（x）結構來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得f（

1

2

）=0，再由f（

5

2

）=f（

3

2

+1）依此求解．

解答：解：若x≠0，xf（x+1）=（1+x）f（x），則有f（x+1）=

1+x

x

f（x），取x=-

1

2

，
則有：f（

1

2

）=f（-

1

2

+1）=

1- 1 2

- 1 2

f（-

1

2

）=-f（-

1

2

）=-f（

1

2

）
∵f（x）是偶函數，則f（-

1

2

）=f（

1

2

）
由此得f（

1

2

）=0．
于是，f（

5

2

）=f（

3

2

+1）=

1+ 3 2

3 2

f（

3

2

）=

5

3

f（

3

2

）=

5

3

f（

1

2

+1）=

5

3

[

1+ 1 2

1 2

]f（

1

2

）=5f（

1

2

）=0
故選：A．

點評：本題主要考查利用函數的主條件用遞推的方法求函數值，這類問題關鍵是將條件和結論有機地結合起來，作適當變形，把握遞推的規律．