Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 為棱AD、AB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面CB₁D₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB₁D₁內一直線平行，連接BD，根據中位線可知EF∥BD，則EF∥B₁D₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁內一直線與平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，則AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，滿足線面垂直的判定定理則B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，而B₁D₁?平面CB₁D₁，滿足定理所需條件．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD．
在正方體AC₁中，對角線BD∥B₁D₁．
又因為E、F為棱AD、AB的中點，
所以EF∥BD．
所以EF∥B₁D₁．（4分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，
所以EF∥平面CB₁D₁．（7分）
（Ⅱ）因為在長方體AC₁中，
AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁．（10分）
又因為在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．（12分）
又因為B₁D₁?平面CB₁D₁，
所以平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．（14分）
點評：本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．