Question

已知函數f（x）=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx，其中a＞0．若兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．則a的值為

e

5

6

．

Answer 1

分析：設公共點（x₀，y₀），根據題意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解方程組即可求出a的值．

解答：解：設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同
而f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意可知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
則

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0 x0+2a= 3a2 x0

解得x₀=a，a=e

5

6

故答案為：e

5

6

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．