Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，且對任意的x∈R，總有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得當x=1時，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，結合f（-1）=0可得，進而可得a+c=b=，又由二次函數的恒成立可得，可得，再由基本不等式可得當且只有當a=c=時，滿足題意，進而可得解析式．
解答：解：∵對任意的x∈R，總有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，
∴當x=1時，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，結合f（-1）=0可得，
解得a+c=b=，又∵對于一切實數x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實數x恒成立，
∴，即，
∵a+c=，且a+c≥2=，
∴當且只有當a=c=時，不等式成立，
∴f（x）=x²+x+
點評：本題考查函數解析式的求解，涉及基本不等式和恒成立問題，屬中檔題．