Question

如圖，直角三角形PAQ的頂點(diǎn)P(－3,0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，∠PAQ＝90°.在AQ的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使 .
　　（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C；
　　（2）設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過F作直線m交軌跡C于G、H兩點(diǎn)，過點(diǎn)G作平行軌跡C的對(duì)稱軸的直線n且n∩l＝E.試問：點(diǎn)E、O、H（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否在同一條直線上？說理由.

 

Answer 1

　解析：　（1）設(shè)M(x,y)，且過點(diǎn)M作MN⊥OY于N　則
　　∴ 　∴點(diǎn)A坐標(biāo)為 由題設(shè)得PA⊥AM　 　 　化簡(jiǎn)得①　　注意到當(dāng)x＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，點(diǎn)Q與原點(diǎn)重合，這與已知條件不符
　　因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ，　其軌跡是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)的拋物線（不含頂點(diǎn)）.
　　(2)由（1）知，軌跡C的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1
　　（）當(dāng)直線m不與x軸垂直時(shí)，　　設(shè)直線m的方程為y＝k(x-1)（k≠0）①　　
　　將①與 聯(lián)立，消去x得 　　∴由韋達(dá)定理得  ②
　　又直線n的方程為 　∴ 　∴
　　∴ 　∴點(diǎn)E、O、H三點(diǎn)共線
　　（）當(dāng)直線m⊥ox時(shí)，直線m的方程為x＝1，此時(shí)易證點(diǎn)E、O、H三點(diǎn)共線.于是，由（）（）知，題設(shè)條件下的點(diǎn)E、O、H一定在同一條直線上.