Question

動點M（x，y）到定點F（-1，0）的距離與到y軸的距離之差為1．
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（II）過點Q（-3，0）的直線l與曲線C交于A、B兩點，問直線x=3上是否存在點P，使得△PAB是等邊三角形？若存在，求出所有的點P；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用動點M（x，y）到定點F（-1，0）的距離與到y軸的距離之差為1，建立方程，化簡方程可得M點的軌跡方程；
（II）設l的方程為x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0，利用韋達定理，可得|AB|，結合△PAB是等邊三角形得：PM⊥AB且|PM|=

3

2

|AB|，由此可得結論．

解答：解：（I）依題意有：

(x+1)2+y2

=|x|+1…（2分）
當x≥0時，y=0；當x＜0時，y²=-4x…（5分）
∴M點的軌跡方程為y2=

0，x≥0 -4x，x＜0

…（6分）
（II）由題意，l只能與拋物線y²=-4x相交．
設l的方程為x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0…（7分）
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）則y1+y2=-4m，y1y2=-12，△=16m2+48
∴|AB|=

1+m2

16m2+48

…（8分）
AB的中點M（-2m²-3，-2m）
由△PAB是等邊三角形得：PM⊥AB且|PM|=

3

2

|AB|…（9分）
令點P（3，n）則|PM|=

|6-mn|

1+m2

…（10分）
∴

|6-mn| 1+m2 = 3 2 1+m2 16m2+48 n+2m 6+2m2 =-m

，解得

m=0 n=0

所以存在點P（3，0）使得△PAB是等邊三角形．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．