Question

已知定點F（

p

2

，0），（p＞0）定直線l：x=

p

2

，動點M（x，y）到定點的距離等于到定直線l的距離．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）動點M的軌跡上的點到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為1，求p的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，兩邊平方即可求動點M的軌跡方程；
（2）設A（x₀，y₀）為拋物線y²=2px，（p＞0）上任意一點，則A到直線3x+4y+12=0的距離為d，利用d_min=1可得到關于p的不等式，解之即可．

解答：解：（1）∵定點F（

p

2

，0）（p＞0），定直線l：x=-

p

2

，動點M（x，y）到定點的距離等于到定直線l的距離，
∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，
∴動點M的軌跡方程為y²=2px，（p＞0）（4分）
（2）將直線3x+4y+12=0平移到與曲線y²=2px（p＞0）相切，切點設為A（x₀，y₀），
則A到直線3x+4y+12=0的距離為1．設切線方程為：3x+4y+t=0，
由

3x+4y+t=0 y2=2px (p＞0)

消去x得：3y²+8py+2pt=0，
△=64p²-4×3×2pt=0，p＞0，
∴t=

8

3

p…（6分）
∴點A到直線3x+4y+12=0的距離就是兩平行線3x+4y+12=0與3x+4y+t=0的距離，為1，
∴d=

|t-12|

5

=

| 8p 3 -12|

5

=1，
∴p=

21

8

或p=

51

8

…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，著重考查拋物線的定義及其應用與配方法求最值，屬于難題．