Question

設定義在R上的函數f(x)=

1 |x-2 ，x≠2 1，x=2

，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有3個不同實數解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中正確的是

④

①a+b=0；②x₁+x₃＞2x₂；③x₁+x₃=5；④．x₁²+x₂²+x₃²=14．

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，即要求對應于方程：f（x）=某個常數，有3個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答：解：作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，
即解分別是1，2，3．
故x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
故答案為：④．

點評：本小題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．