Question

(本題滿分l0分)

  如圖，已知拋物線M：x²=4py(p＞0)的準線為ι，N為ι上的一個動點，過點N作拋物線M的兩條切線，切點分別為A，B，再分別過A，B兩點作ι的垂線，垂足分別為C，D．

  (1)求證：直線AB必經過y軸上的一個定點Q，并寫出點Q的坐標；

  (2)若△ACN，△BDN，△ANB的面積依次構成等差數列，求此時點N的坐標．

Answer 1

【必做題】

解法一：（1）因為拋物線的準線的方程為，

所以可設點的坐標分別為，

，，則，，

 由，得，求導數得，于是，

即，化簡得，

同理可得，

所以和是關于的方程

兩個實數根，所以，

且．

在直線的方程中，

令，得=為定值，

所以直線必經過軸上的一個定點，即拋物線的焦點．……………………………5分

(2)由（1）知，所以為線段的中點，取線段的中點，

因為是拋物線的焦點，所以，所以，

所以

，

又因為，，

所以，，成等差數列，即成等差數列，

即成等差數列，所以，，

所以，，

時，，，

時，，，所以所求點的坐標為．………………………………………………………………10分

解法二：（1）因為已知拋物線的準線的方程為，所以可設點的坐標分別為，，，則，，

設過點與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯立，消去得，

因為直線與拋物線相切，所以，即，解得，此時兩切點橫坐標分別為，

在直線的方程中，令得

=為定值，

所以直線必經過軸上的一個定點，即拋物線的焦點．……………………………5分

（2）由（1）知兩切線的斜率分別為，則，所以，

連接，則直線斜率為，

又因為直線的斜率，

所以，

所以，又因為，所以，

所以和的面積成等差數列，所以成等差數列，

所以成等差數列，所以，，

所以，，

時，，，

時，，，

所以所求點的坐標為．  …………………………………………………………10分

（以上各題如考生另有解法，請參照本評分標準給分）