Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

xlnx

（x＞0且x≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知2

1

x

＞xa對(duì)任意x∈（0，1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求單調(diào)區(qū)間既是求函數(shù)導(dǎo)數(shù)大于或小于0的區(qū)間，我們可以用圖表表示使結(jié)果直觀．
（Ⅱ）對(duì)于未知數(shù)在指數(shù)上的式子，往往取對(duì)數(shù)進(jìn)行解答．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=-

lnx+1

x2ln2x

，若f′（x）=0，則x=

1

e

列表如下

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，1)	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-
f（x）	單調(diào)增	極大值f( 1 e )	單調(diào)減	單調(diào)減

（Ⅱ）在2

1

x

＞xa兩邊取對(duì)數(shù)，得

1

x

ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

（1）
由（1）的結(jié)果可知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)≤f(

1

e

)=-e，
為使（1）式對(duì)所有x∈（0，1）成立，當(dāng)且僅當(dāng)

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2

點(diǎn)評(píng)：求解此類問題要有耐心，避免不必要的計(jì)算錯(cuò)誤．