Question

設函數f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明．
（3）解關于x的不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由函數解析式中分母不等于0，且真數大于0，求出f（x）的定義域；
（2）利用f（x）的導數判定并證明f（x）在定義域內是減函數；
（3）根據f（0）=

1

2

，把不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

化為f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；由f（x）在定義域內是減函數，可以求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

，
解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域是（-1，1）；
（2）函數f（x）在定義域（-1，1）內是減函數，證明如下；
∵函數f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f′（x）=-

1

(x+2)2

+

1

ln10

•

1+x

1-x

•

-(1+x)-(1-x)

(1+x)2

=-

1

(x+2)2

-

1

ln10

•

2

1-x2

∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＜0∴f（x）是減函數；
（3）∵函數f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f（0）=

1

2

；
∴不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

可化為f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；
又∵f（x）在定義域（-1，1）內是減函數，
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

，
解得

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

；
∴不等式的解集為(

1- 17

4

，0)∪(

1

2

，

1+ 17

4

)．

點評：本題考查了求函數的定義域以及判定函數的單調性和利用單調性解不等式的問題，是綜合題目．