Question

已知函數f(x)=(

x-1

x+1

)2，(x＞1)．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）若不等式(1-

x

)f-1(x)＞a(a-

x

)對一切x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求原函數f（x）的反函數，即從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式，再根據原函數的值域為反函數的定義域；
（2）將解析式代入化簡，令t=

x

，t∈[

1

4

，

1

2

]，轉化成關于t的一次不等式在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，建立不等式組，解之即可．

解答：解：（1）由f(x)=(

x-1

x+1

)2得x=

1+ y

1- y

，x＞1，x=

1+ y

1- y

＞1，
∴0＜y＜1
∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)
（2）由題設有f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)．
∴1+

x

＞a2-a

x

，即(1+a)

x

+1-a2＞0對任意的x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，顯然a≠-1，
令t=

x

，t∈[

1

4

，

1

2

]則g（t）=（1+a）t+1-a²＞0對任意t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立．
∴

g( 1 4 )＞0 g( 1 2 )＞0

即

1 4 (1+a)+(1-a2)＞0 1 2 (1+a)+1-a2＞0

，解得-1＜a＜

5

4

．

點評：本題主要考查了反函數，以及函數恒成立問題，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于基礎題．