Question

（2013•徐州三模）不等式選講：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：利用題中條件：“x-2y-3z=4”構造柯西不等式：[x+（-2）y+（-3）z]²≤[1²+（-2）²+（-3）²]（x²+y²+z²），利用這個條件進行計算即可．

解答：解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]²≤[1²+（-2）²+（-3）²]（x²+y²+z²），
即（x-2y-3z）²≤14（x²+y²+z²），…（5分）
即16≤14（x²+y²+z²）．
所以x2+y2+z2≥

8

7

，即x²+y²+z²的最小值為

8

7

．…（10分）

點評：本題考查柯西不等式在函數極值中的應用，關鍵是利用：[x+（-2）y+（-3）z]²≤[1²+（-2）²+（-3）²]（x²+y²+z²）．