Question

如圖，已知橢圓內有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內切圓？若存在，求其內切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點的坐標，利用，即可證得，從而AC⊥BD；
（2）（i）根據AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，所以四邊形ABCD是菱形，它存在內切圓，設直線AB方程為：y=kx+m，利用圓心到直線的距離，可得；聯立 ，利用OA⊥OB，可得，從而可求內切圓的方程；
（ii）求出弦AB的長=，令3m²-1=t，則，所以根據，即可求得弦AB長的最小值．
解答：（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由知
展開整理得：x₁x₂+y₁y₂+x₃x₄+y₃y₄=x₂x₃+y₂y₃+x₁x₄+y₁y₄
即x₁（x₂-x₄）+x₃（x₄-x₂）+y₁（y₂-y₄）+y₃（y₄-y₂）=0
∴（x₁-x₃）（x₂-x₄）+（y₁-y₃）（y₂-y₄）=0
即，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是菱形，它存在內切圓，圓心為O，設半徑為r，直線AB方程為：y=kx+m
則，即①
聯立 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
∴
由（1）知OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴
∴
∴2m²-2+2m²k²-2k²-4k²m²+m²+2m²k²=0
∴②
②代入①有：
∴存在內切圓，其方程為：…．（9分）
容易驗證，當k不存在時，上述結論仍成立．
（ii）
∵
∴=
令3m²-1=t，則
∴
∵，∴，故t≥1，∴
當時，，此時
容易驗證，當k不存在時，…．（13分）
點評：本題以橢圓方程為載體，考查向量知識的運用，考查橢圓與圓的綜合，考查圓中的弦長的求解，挖掘隱含，熟練計算是關鍵．