Question

已知雙曲線C₁和橢圓C₂有相同的焦點F₁(－c，0)，F₂(c，0)(c>0)，兩曲線在第一象限內的交點為P，橢圓C₂與y軸負方向交點為B，且P、F₂、B三點共線，F₂與的比為1：2，又直線PB與雙曲線C₁的另一交點為Q(如圖)，若|F₂Q|=，求雙曲線C₁，橢圓C₂的方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

依題意，可設C2：=1(a>b>0)，其中a2－b2=c2，C1：(m，n>0)，且m2+n2=c2，P(x0，y0)。 顯然B（0，－b）,由，得由定比分點公式，得P()。 由P∈C2，∴=1 ∴a2=3c2，b2=2c2， 由P∈C1有 ∴4n4+7c2n2－2c4=0 ∴(4n2－c2)(n2+2c2)=0， 即 直線PF2的方程即為y=，將其代入雙曲線方程，有 20x2－48cx+27c2=0∴x=c或x=c ∴()， 由距離公式及，得c2=4， ∴ 所求雙曲線C1的方程是－y2=1，橢圓方程是=1。