Question

記函數f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數f（x）=-x=1，lg（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設函數f（x）=log_a（1-a^x），求f（x）的反函數f^-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素．

Answer 1

解：（1）∵對任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，f（x）=-x+1∈M--（2分）
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等x，g（x）∉M（4分）
（2）y=log_a（1-ax）a＞1時，0＜1-a^x＜1解得x＜0．y＜0
y=log_a（1-a^x）解得其反函數y=log_a（1-a^x），x＜（7分）
0＜a＜1時，0＜1-a^x＜1解得
x＞0，y＞0解得函y=log_a（1-a^x），的反函數y=log_a（1-a^x），x＞0（9分）
f（f（x））=log_a（1-a）=log_a（1-1+a^x）=x
f（x）=log_a（1-a^x）∈M（12分）
分析：（1）欲判斷函數f（x）=-x=1，lg（x）=2x-1是否是M的元素，只須驗證對任意x∈R，f（f（x））═x是否成立；
（2）先求得求f（x）的反函數f^-1（x），再根據題中的定義判斷f（x）是否是M的元素即可．
點評：本題主要考查了反函數，函數值的求法等，是一道創新型的題目，還考查了學生的創新意識．