Question

（2007•浦東新區二模）記函數f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設函數f（x）=log_a（1-a^x），求f（x）的反函數f^-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）若f（x）≠x，寫出f（x）∈M的條件，并寫出兩個不同于（1）、（2）中的函數．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得f（f（x））=x，g（g（x））=4x-3，從而可作出判斷；
（2）由y=loga(1-ax)，a＞1時可求得其反函數為y=loga(1-ax)（x＜0），0＜a＜1時，反函數為y=loga(1-ax)（x＞0），可求得f（f（x））=x，從而可判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的條件是：f（x）存在反函數f^-1（x），且f^-1（x）=f（x），舉例即可．

解答：解：（1）∵對任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，
∴f（x）=-x+1∈M--（2分）
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等于x，
∴g（x）∉M--------------（4分）
（2）設y=loga(1-ax)，
①a＞1時，由0＜1-a^x＜1解得：x＜0，y＜0；
由y=loga(1-ax)，
解得其反函數為y=loga(1-ax)，（x＜0）------（6分）
②0＜a＜1時，由0＜1-a^x＜1解得：x＞0，y＞0
解得函數y=loga(1-ax)的反函數為y=loga(1-ax)，（x＞0）-----------（8分）
∵f（f（x））=loga(1-aloga(1-ax))=loga(1-1+ax)=x
∴f（x）=loga(1-ax)∈M--------------------------------（11分）
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的條件是：f（x）存在反函數f^-1（x），且f^-1（x）=f（x）---------------------（13分）
函數f（x）可以是：f（x）=

-bx+c

ax+b

（ab≠0，ac≠-b²）；
f（x）=

k

x

（k≠0）；
f（x）=

a-x2

（a＞0，x∈[0，

a

]）；
f（x）=loga

1-ax

1+ax

（a＞0，a≠1）；
f（x）=sin（arccosx），（x∈[0，1]或x∈[-1，0]），f（x）=cos（arcsinx）；
f（x）=arcsin（cosx），（x∈[0，

π

2

]或x∈[

π

2

，π]），f（x）=arccos（sinx）．
以“；”劃分為不同類型的函數，評分標準如下：
給出函數是以上函數中兩個不同類型的函數得（3分）．屬于以上同一類型的兩個函數得（1分）；
寫出的是與（1）、（2）中函數同類型的不得分；函數定義域或條件錯誤扣（1分）．

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，考查反函數，考查抽象思維與綜合分析與應用的能力，屬于難題．