Question

已知數列{a_n}中，a_n∈（0，），a_n=+•a_n-1²，其中n≥2，n∈N^*，求證：對一切自然數n都有a_n＜a_n+1成立．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件可知，a_n+1-a_n=（a_n-1）²-．由0＜a_n＜，∴-1＜a_n-1＜-能夠導出（a_n-1）²-＞0．由此可知a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1對一切自然數n都成立．
解答：證明：a_n+1-a_n=+a_n²-a_n=（a_n-1）²-．
∵0＜a_n＜，∴-1＜a_n-1＜-．
∴＜（a_n-1）²＜．
∴（a_n-1）²-＞0．
∴a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1對一切自然數n都成立．
點評：本題考查不等式的解法和數列的知識，解題時要注意培養計算能力．