Question

 [2012·全國卷] 如圖1－1，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一點，PE＝2EC.

(1)證明：PC⊥平面BED；

(2)設二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．

圖1－1

Answer 1

解：方法一：(1)證明：因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

設AC∩BD＝F，連結EF.因為AC＝2，

PA＝2，PE＝2EC，故

PC＝2，EC＝，FC＝，

從而＝，＝.

因為＝，∠FCE＝∠PCA，所以

△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，

由此知PC⊥EF.

PC與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.

(2)在平面PAB內過點A作AG⊥PB，G為垂足．

因為二面角A－PB－C為90°，所以平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC與平面PAB內兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD為正方形，AD＝2，PD＝＝2.

設D到平面PBC的距離為d.

因為AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D兩點到平面PBC的距離相等，即d＝AG＝.

設PD與平面PBC所成的角為α，則sinα＝＝.

所以PD與平面PBC所成的角為30°.

方法二：(1)以A為坐標原點，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz.

設C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，則P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．

于是＝(2，0，－2)，＝，＝，從而·＝0，

·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.

(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．

設m＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·＝0，m·＝0，

即2z＝0且x－by＝0，

令x＝b，則m＝(b，，0)．

設n＝(p，q，r)為平面PBC的法向量，則

n·＝0，n·＝0，

即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，

令p＝1，則r＝，q＝－，n＝.

因為面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，

cos〈n，〉＝＝，

〈n，〉＝60°.

因為PD與平面PBC所成的角和〈n，〉互余，

故PD與平面PBC所成的角為30°.

G6  三垂線定理