Question

【題目】如圖所示，菱形與正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .

（1）求證： 平面；

（2）若，求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）過點作于，連接，可證四邊形為平行四邊形，可得，根據線面平行的判定定理即可證明平面；（2）若，利用分割法，將幾何體分成兩個棱錐，結合棱錐的體積公式即可求幾何體的體積.

試題解析：（1）如圖所示，過點作于，連接，

∵為正三角形， ，∴.

∵平面⊥平面， 平面，平面平面，

∴平面.

又∵平面， ，∴.

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵平面 ， 平面，∴平面.

（2）連接，由題意得為正三角形，∴.

∵平面⊥平面，平面，平面平面，

平面.∵，平面 ， 平面，∴平面，

同理，由可證平面，

∵， 平面， 平面，

∴平面∥平面，∴到平面的距離等于的長.

∵為四棱錐的高，

∴

.