Question

【題目】設函數f（x）= （其中p2+q2≠0），且存在公差不為0的無窮等差數列{an}，使得函數在其定義域內還可以表示為f（x）=1+a1x+a2x+a2x2+…+anxn+…
（1）求a1 ， a2的值（用p，q表示）；
（2）求{an}的通項公式；
（3）當n∈N*且n≥2時，比較（an﹣1）an與（an） 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得 ，

顯然x，x2的系數為0，所以 ，

從而a1=﹣p，

（2）解：考慮xn（n≥3）的系數，則有an+pan﹣1+qan﹣2=0，

因數列{an}是等差數列，所以an﹣2an﹣1+an﹣2=0，所以（2+p）an﹣1=（1﹣q）an﹣2對一切n≥3都成立，

若an=0，則p=q=0，與p2+q2≠0矛盾，

若數列{an}是等比數列，又據題意{an}是等差數列，則{an}是常數列，這與數列{an}的公差不為零矛盾，

所以2+p=1﹣q=0，即p=﹣2，q=1，

由（1）知a1=2，a2=3，所以an=n+1．

（其他方法：根據題意可以用p、q表示出a1，a2，a3，a4，由數列{an}為等差數列，利用2a2=a1+a3，2a3=a2+a4解方程組也可求得．其它解法酌情給分．）

（3）解：由（2）可得：（an﹣1）an=nn+1，（an） =（n+1）n

當n=2時，a1a2=23，=8，a2a1=32，=9，∴a1a2＜a2a1．

當n≥3時，nn+1＞（n+1）n即（an﹣1）an＞（an） ，下面用數學歸納法證明．

①當n=3時，34=81，43=64，∴64＜81．結論成立．

②假設n=k時，結論成立，即kk+1＞（k+1）k．

下面證明n=k+1時成立．

由假設得 ，因為（k+1）2＞k（k+2），即： ，

所以 ＞ = ，

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1．所以n=k+1時，結論也成立．

綜上n∈N*且n≥3時，（an﹣1）an＞（an）

【解析】（1）化簡已知條件，利用方程的系數關系列出方程，求解即可．（2）考慮xn（n≥3）的系數，推出an+pan﹣1+qan﹣2=0，利用數列{an}是等差數列，數列{an}是等比數列，推出矛盾，利用（1）知a1=2，a2=3，求出an ． （3）通過當n=2時，推出a1a2＜a2a1 ． 當n≥3時，（an﹣1）an＞（an） ，利用數學歸納法證明即可．
【考點精析】利用等差數列的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．