Question

【題目】在直角梯形中，，，，為的中點，如圖將沿折到的位置，使，點在上，且，如圖2．

求證：平面；

求二面角的正切值；

在線段上是否存在點，使平面？若存在，確定的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） 為 的中點.

【解析】

（法一）

（1）由題意可知，題圖中，易證，由根據直線與平面垂直的判定定理可得平面；

（2）三垂線法：由考慮在上取一點，使得，從而可得，所以平面，過作交于，連接，為二面角的平面角，在中求解即可；

（3）取中點，所以，又由題意，從而可得，所以有平面.

（法二：空間向量法）

（1）同法一；

（2）以為原點建立直角坐標系，易知平面的法向為，求平面的法向量，代入公式求解即可；

（3）由平面，所以，利用向量數量積的坐標表示，可求出結果.

（1）證明：在題圖中，由題意可知，，為正方形

所以在題圖中，，，且四邊形是邊長為的正方形

因為，，所以平面

又平面，所以

又，所以平面

（2）在上取一點，使，連接

因為，所以

所以平面

過作交于，連接

則平面

所以

所以為二面角的平面角，

在中，，，，

即二面角的正切值為

（3）當為中點時，平面

理由如下：取的中點，連接交于

連接，

所以，又由題意

平面，平面

所以平面

即當為的中點時，平面

解法二：（1）同方法一

（2）如圖，以A為原點建立直角坐標系

，，，，，

易知平面的法向量為

設平面的法向量為，且

由，得：

令，得：，；則

所以

所以

即二面角的正切值為

設存在，使得平面

設

所以，由平面

所以，所以

即，即為的中點