Question

（2013•青島一模）已知向量

m

=(ex，lnx+k)，

n

=(1，f(x))，

m

∥

n

（k為常數，e是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的單調區間；
（Ⅱ）已知函數g（x）=-x²+2ax（a為正實數），若對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量平行的條件求出函數y=f（x），再求出此函數的導函數，函數在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f^′（1）=0，則k值可求；從而得出F（x）的解析式，求出函數F（x）的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數F（x）的單調區間．
（II）對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等價于g（x）_max＜F（x）_max，再求得F（x）取得最大值；利用二次函數的圖象，對a進行分類討論，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）_max得a的范圍，結合分類時a的范圍得a的取值范圍．

解答：解：（I）由已知可得：f（x）=

1nx+k

ex

，
∴f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知，f′(1)=

1-k

e

=0，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0＜x≤

1

e2

，
由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥

1

e2

∴F（x）的增區間為(0，

1

e2

]，減區間為[

1

e2

，+∞)…（5分）
（II）∵對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，當x=

1

e2

時，F（x）取得最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

．…（8分）
對于g（x）=-x²+2ax，其對稱軸為x=a
當0＜a≤1時，g(x)max=g(a)=a2，
∴a2＜1+

1

e2

，從而0＜a≤1…（10分）
當a＞1時，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴2a-1＜1+

1

e2

，從而1＜a＜1+

1

2e2

…（12分）
綜上可知：0＜a＜1+

1

2e2

…（13分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，屬于難題．