Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項之和，a₂=1，對任意的正整數n，都有S_n-2=p（a_n-2），其中p為常數，且p≠1．
（1）求p的值；（2）求S_n．

Answer 1

分析：（1）因為對任意的正整數n，都有S_n-2=p（a_n-2），所以可先把n=1的值代入，就可求出a₁，再根據a₁的 值求p．
（2）由（1）中所求p的值，可化簡S_n，得到含S_n和a₁的式子，再根據n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，就可求出S_n．

解答：解：（1）因為對任意的正整數n，都有S_n-2=p（a_n-2），
所以，當n=1時，S₁=a₁，∴a₁-2=p（a₁-2），
（a₁-2）（p-1）=0   且p≠1．∴a₁=2
由S₂-2=a₂-2，即a₁+a₂-2=p（a₂-2），a₂=1
即p=-1                                 
（Ⅱ）S_n-2=-（a_n-2）=2-a_nS_n-1-2=2-a_n-1
兩式相減得  S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1
∴a_n=

1

2

a_n-1，∴a_n=2×（

1

2

）^n-1=

1

2n-2

∴S_n=4-a_n=4-

1

2n-2

．

點評：本題考查了數列中前n項和與通項之間的關系，做題時應認真分析，正確解答．