Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且3S_n+a_n=1，數列{b_n}滿足bn+2=3lo

g

1 4

an，數列{c_n}滿足c_n=b_n•a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{c_n}的通項公式，再利用錯位相減法，可求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵3S_n+a_n=1，∴n≥2時，3S_n-1+a_n-1=1，
兩式相減可得3a_n+a_n-a_n-1=0，
∴a_n=

1

4

a_n-1，此數列是一個等比數列，又∵n=1時，a₁=

1

4

，
∴an=(

1

4

)n；
（2）∵bn+2=3lo

g

1 4

an，∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，
∴cn=(3n-2)(

1

4

)n
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n
兩邊同乘以公比得

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1
兩式相減，得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1
∴Sn=

2

3

-

(3n+2)

3

×(

1

4

)n．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于基礎題．