Question

已知y軸右側一動圓與一定圓外切，也與y軸相切.

  （1）求動圓圓心的軌跡C；

  （2）過點T（－2，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，求一點，使得 是以點E為直角頂點的等腰直角三角形。

Answer 1

（1）動點C₁的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（2，0）為焦點的拋物線，除去原點.

（2）E點坐標為（10,0）

解析:

（1）由題意知動點C₁到定點（2,0）與到定直線的距離相等，則動點M的軌跡是以定點（2,0）為焦點，定直線為準線的拋物線。所以點M的軌跡方程為

       又點C₁在原點時，動圓不存在，所以，動點C₁的軌跡C是以（0，0）為頂點，以

（2，0）為焦點的拋物線，除去原點.

（2）設直線……①

       設①的兩個實數根，由韋達定理得

，

       所以，線段AB的中點坐標為

       而

若x軸上存在一點, 使△AEB是以點E為直角頂點的等腰直角三角形，

       則，且 ,直線EF的方程為：

       令得E點坐標為，則

=, 所以 解得 ，

則E點坐標為（10,0）