Question

把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列成一個數(shù)列．
（1）43251是這個數(shù)列的第幾項？
（2）這個數(shù)列的第96項是多少？
（3）求這個數(shù)列的各項和．

Answer 1

分析：（1）先考慮大于43251的數(shù)，利用間接法求解；
（2）1、2、3、4開頭的五位數(shù)共有96個，所以第96項是4開頭最大的數(shù)，即可得到結(jié)論；
（3）因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有A個五位數(shù)，所以萬位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•A•10000；同理它們在千位、十位、個位上也都有A個五位數(shù)，所以可求這個數(shù)列各項和．

解答：解：（1）先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類
第一類：以5打頭的有：

A

4 4

=24
第二類：以45打頭的有：

A

3 3

=6
第三類：以435打頭的有：

A

2 2

=2…（2分）
故不大于43251的五位數(shù)有：

A

5 5

-(

A

4 4

+

A

3 3

+

A

2 2

)=88（個）
即43251是第88項．…（4分）
（2）1開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；2開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；3開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；4開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；
所以1、2、3、4開頭的五位數(shù)共有96個
所以第96項是4開頭最大的數(shù)，即45321．…（8分）
（3）因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有A個五位數(shù)，
所以萬位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•A•10000…（10分）
同理它們在千位、十位、個位上也都有A個五位數(shù)，所以這個數(shù)列各項和為：
（1+2+3+4+5）•A•（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=3999960…（12分）

點評：本題考查排列知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．