Question

【題目】已知橢圓M：： + =1（a＞0）的一個焦點為F（﹣1，0），左右頂點分別為A，B．經過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）當直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長；
（3）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為F（﹣1，0）為橢圓的焦點，所以c=1，又b2=3，

所以a2=4，所以橢圓方程為 =1；

（2）解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，

所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯立得到

，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，

所以△=288，x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

所以|CD|= |x1﹣x2|= × = ；

（3）解：當直線l無斜率時，直線方程為x=﹣1，

此時D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，

當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），

設C（x1，y1），D（x2，y2），

和橢圓方程聯立得到 ，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

此時|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|

=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = = ，（k= 時等號成立）

所以|S1﹣S2|的最大值為 ．

【解析】（1）由焦點F坐標可求c值，根據a，b，c的平方關系可求得a值；（2）寫出直線方程，與橢圓方程聯立消掉y得關于x的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得|CD|；（3）當直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯立消y可得x的方程，根據韋達定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可轉化為關于x1 ， x2的式子，進而變為關于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．