Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數列{

2n

an

}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設bn=

1

n•2n+1

an，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式的右邊的2ⁿ⁺¹比到左邊，然后等式兩邊取倒數，展開后就得到要證的結論；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的結論寫出數列{

2n

an

}的通項公式，則a_n可求；
（Ⅲ）把a_n的通項代入后進行列項，運用列項相消即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知可知

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴數列{

2n

an

}是公差為1的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=

2n

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=

1

n•2n+1

an=

1

n•2n+1

×

2n

n+1

∴bn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

1

n+1

)=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．

點評：本題考查了數列的遞推式、等差數列的通項公式及數列的求和，訓練了由遞推式構造性數列的方法，考查了裂項相消法對數列進行求和，是常考題型．