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已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù).
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)由奇函數(shù)性質(zhì)得f(0)=0,由此可求出a值,注意檢驗;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷證明;
(3)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可把去掉不等式中的符號“f”,從而轉(zhuǎn)化為具體不等式恒成立,從而可求k的范圍.
解答:解:(1)由題設,需f(0)=
-1+a
2
=0

∴a=1,∴f(x)=
1-2x
1+2x

經(jīng)驗證,f(x)為奇函數(shù),∴a=1.
(2)f(x)在定義域R上是減函數(shù).
證明:任取 x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,
f(x2)-f(x1)=
1-2x2
1+2x2
-
1-2x1
1+2x1
=
2(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)

∵x1<x2,∴0<2x12x22x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0
∴f( x2)-f( x1)<0,即f( x2)<f( x1),
∴該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).
(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
由(2)知,f(x)是減函數(shù),∴原問題轉(zhuǎn)化為t2-2t>k-2t2
即3t2-2t-k>0對任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0,解得k<-
1
3

所以實數(shù)k的取值范圍是:k<-
1
3
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及不等式恒成立問題,定義是解決單調(diào)性問題的基本方法,而恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決.
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