Question

（2013•朝陽區一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．E為側棱PB的中點，F為側棱PC上的任意一點．
（Ⅰ）若F為PC的中點，求證：面EFP⊥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面AFD⊥平面PAB；
（Ⅲ）是否存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直？若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由三角形中位線定理結合BC∥AD，證出EF∥AD．利用面面垂直性質定理，證出PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．
結合AB⊥AD得到AD⊥平面PAB，從而可得EF⊥平面PAB．最后根據面面垂直判定定理，可得平面EFP⊥平面PAB．
（II）根據平面ABCD⊥平面PAC和PA⊥AC，證出PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD，結合AB⊥AD證出AD⊥平面PAB，利用面面垂直判定定理，可得平面AFD⊥平面PAB．
（III）過點A作AF⊥PC于F，根據平面幾何知識，結合題中數據算出CD⊥AC，結合（Ⅱ）的結論證出PA⊥CD，可得CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF，從而證出AF⊥平面PCD．最后在△PAC中利用勾股定理和等積轉換算出PF=

2 6

3

，即可得到PC上存在點F使得直線AF與平面PCD垂直．

解答：解：（Ⅰ）∵E、F分別為側棱PB、PC的中點，∴EF∥BC．
∵BC∥AD，∴EF∥AD．
∵面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，結合AD?平面ABCD，得PA⊥AD．
又∵AB⊥AD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，可得EF⊥平面PAB．
∴結合EF?平面EFP，得平面EFP⊥平面PAB．    …（4分）
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，PA?平面PAC．
∴PA⊥平面ABCD，結合AD?平面ABCD，得PA⊥AD．
又∵AB⊥AD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面AFD，
∴平面AFD⊥平面PAB．…（8分）
（Ⅲ）存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直．
平面PCA中，過點A作AF⊥PC，垂足為F
∵由已知AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2．
∴根據平面幾何知識，可得CD⊥AC．
又∵由（Ⅱ）PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，且PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，結合AF?平面PAC，得CD⊥AF．
又∵CD∩PC=C，∴AF⊥平面PCD．
在△PAC中，PA=2，AC=

2

，∠PAC=90°，
∴PC=

PA2+AC2

=

6

，PF=

PA•AC

PC

=

2 6

3

．
∴PC上存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直，此時線段PF的長為

2 6

3

．…（14分）

點評：本題在特殊四棱錐中求證線面垂直和面面垂直，并求線段的長度．著重考查直線和平面垂直的判定和性質，兩個平面垂直的判定定理的應用等知識，屬于中檔題．