Question

已知空間4個球，它們的半徑分別為2，2，3，3，每個球都與其他三個球外切，另有一個小球與這4個球都外切，則這個小球的半徑為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設半徑為3的兩個球的球心分別為A、B，半徑為2的兩個球的球心分別為C、D，與它們都相切的小球球心為O，半徑為r．得如圖的四棱錐D-ABCD，其中AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點F、G，連接OF、OG．可證出FG是異面直線AB、CD的公垂線段且F、O、G三點共線，算出FG=2，利用OF+OG=FG列出關于r的方程，解之即可得到r的值，即得小球的半徑．
解答：解：設半徑為3的兩個球的球心分別為A、B，半徑為2的兩個球的球心分別為C、D，
與它們都相切的小球球心為O，半徑為r
如圖，連接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得四棱錐D-ABCD
得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5
連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點F、G，連接OF、OG
∵等腰△ABC中，CA=CB=5，AF=BF=3
∴CF==4，同理可得DF=4
由此可得△CDF中，DF=CF，結合CG=DG，
連接FG，得FG是等腰△CDF底邊中線，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，所以FG是異面直線AB、CD的公垂線段，
∵OA=OB=3+r，OD=OC=2+r，F、G分別是AB、CD的中點
∴點O在線段FG上，即F、O、G三點共線
∵Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，∴OF==
同理可得：OG=，
∵Rt△CFG中，FG==2
∴OF+OG=FG，即+=2，解之得r=（舍負）
故選：C
點評：本題給出一個小球與另外四個球都相切，在已知四個大球半徑的情況下求小球半徑，著重考查了空間直線垂直的判定和球的外切等知識，屬于中檔題．