Question

（1）解關于x的不等式：x²+（1-a）x-a＜0，（a∈R）；
（2）設x，y為正數且2x+5y=20，問x，y為何值時，xy取得最大值？

Answer 1

分析：（1）先把不等式變形，然后根據所對應方程根的大小進行討論，解出不等式即可；
（2）根據2x+5y=20，將xy構造成

1

10

•2x•5y即可利用基本不等式求解，從而求得xy的最大值，以及x，y的值．

解答：解：（1）原不等式可化為 （x+1）（x-a）＜0，
當a＞-1時，不等式解集為{x|-1＜x＜a}，
當a＜-1時，不等式解集為{x|a＜x＜-1}，
當a=-1時，原不等式即為（x+1）²＜0，不等式解集為∅；
（2）∵x，y為正數且2x+5y=20，
∴xy=

1

10

•2x•5y≤

1

10

(

2x+5y

2

)2=

1

10

×10²=10，
當且僅當2x=5y，即x=5，y=2時取“=”，
即x=2，y=5時，xy取得最大值10．

點評：本題考查了含參數的不等式的解法，注意分類時要不重不漏，以及基本不等式在最值問題中的應用，在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值．屬于中檔題．