Question

已知棱長為1的正方體AC₁，E、F分別是B₁C₁、C₁D的中點．
（1）求證：E、F、D、B共面；
（2）求點A₁到平面的BDEF的距離；
（3）求直線A₁D與平面BDEF所成的角．

Answer 1

解：（1）∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，∴EF，BD兩直線共面，E、F、D、B共面
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．則D（0，0，0）B（1，1，0）E（ ，1，1）A₁（1，0，1）
=（1，1，0），=（ ，1，1）設平面BDEF的一個法向量為=（x，y，z）
則即取x=2得量為=（2，-2，1）
=（1，0，1）
點A₁到平面的BDEF的距離即為在法向量方向上投影的絕對值即h===1
（3）設直線A₁D與平面BDEF所成的角為θ，則sinθ===
θ=arcsin．
分析：（1）先證BD∥EF，通過EF，BD兩直線共面，得E、F、D、B共面；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面BDEF的一個法向量，點A₁到平面的BDEF的距離即為在法向量方向上投影的絕對值；
（3）直線A₁D與平面BDEF所成的角的θ正弦值等于h與A₁D長度的比值．
點評：本題考查平面的基本性質，線面角，點面距的計算，考查空間想象、計算能力．利用向量的數量積可減少思維難度．