Question

已知命題P：函數f（x）=x²+mx+1有兩個不相同的零點且為負數；命題q：關于x的方程x²-2（m-2）x+m=0沒有實數根．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍，使命題p為真命題；
（Ⅱ）若“￢p或q”為真命題，“￢p且q”為假命題，求實數m值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用命題p為真命題，利用根與系數之間的關系確定實數m的取值范圍．
（Ⅱ）由“￢p或q”為真命題，“￢p且q”為假命題，確定p，q的真假關系．

解答：解：（Ⅰ）若p為真命題，設兩個零點為x₁，x₂，則由利用根與系數之間的關系得

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2=1＞0

，解得m＞2．
即實數m的取值范圍是m＞2．
（Ⅱ）若q為真，則△=4（m-2）²-4m＜0，解得1＜m＜4．
若“￢p或q”為真命題，則￢p，q 至少有一個為真命題．
“￢p且q”為假命題，則￢p，q 至少有一個為假命題，所以￢p，q 一真一假，即p，q有相同的真假性．
當p真q真時，由

m＞2 1＜m＜4

 的2＜m＜4．
當p假且q假時，由

m≤2 m≤1且m≥4

，解得m≤1．
綜上所求m的取值集合為{m|m≤1或2＜m＜4}．

點評：本題主要考查復合命題的真假關系的應用，要求熟練掌握復合命題與簡單命題的真假關系．